20 Rumus Integral — Bentuk Soal & Pengerjaan Lengkap

①

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C

Rumus Pangkat — paling dasar, dipakai di mana-mana

Rumus

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C

n ≠ −1. Cara: pangkat naik 1, lalu bagi pangkat baru.
n = −1 → pakai ln|x| (Rumus #2)

Bentuk Soal & Langkah

1

∫ x³ dx → n=3 → naik: 3+1=4 → bagi 4
= x⁴/4 + C

2

∫ x⁻² dx → n=−2 → naik: −2+1=−1 → bagi −1
= x⁻¹/(−1) = −1/x + C

3

∫ √x dx = ∫ x^(1/2) dx → n=1/2
= x^(3/2)/(3/2) = (2/3)x^(3/2) + C

4

∫ (3x² + 4x − 5) dx = x³ + 2x² − 5x + C
(tiap suku dihitung sendiri)

⚡ Rumus Cepat

🚀 Trik Ingat

NAIK pangkat 1, BAGI pangkat baru x³ → x⁴ → bagi 4 → x⁴/4 ✓

⚠️ x⁻² → x⁻¹/(-1) = −1/x
Jangan lupa tanda minus saat n negatif!

②

∫ 1/x dx = ln|x| + C

Kasus pangkat −1, menghasilkan logaritma natural

Rumus

∫ 1/x dx = ln|x| + C

Tanda mutlak |x| wajib karena ln hanya terdefinisi untuk x > 0.
Ini kasus khusus Rumus #1 ketika n = −1.

Bentuk Soal & Langkah

1

∫ 1/x dx = ln|x| + C

2

∫ 5/x dx = 5 ln|x| + C
(konstanta keluar dari integral)

3

∫ 1/(3x) dx = (1/3) ln|x| + C
(konstanta 1/3 keluar)

4

∫ (x² + 1/x) dx = x³/3 + ln|x| + C
(split suku per suku)

⚡ Rumus Cepat

🚀 Pola f'(x)/f(x)

∫ f'(x)/f(x) dx = ln|f(x)| + C Jika pembilang = turunan penyebut → langsung ln!

Contoh pola:
∫ 2x/(x²+1) dx → f=x²+1, f'=2x → ln(x²+1)+C
∫ cos x/sin x dx → f=sin x, f'=cos x → ln|sin x|+C

③

∫ k dx = kx + C

Integral konstanta — paling sederhana

Rumus

∫ k dx = kx + C

k = angka/konstanta apapun. Integrasikan konstanta = konstanta × x.

Bentuk Soal & Langkah

1

∫ 7 dx = 7x + C

2

∫ π dx = πx + C

3

∫ (2x + 3) dx = x² + 3x + C
(3 adalah konstanta → 3x)

⚡ Ciri Soal

Kapan dipakai?

Integran = angka bulat saja Muncul di suku terakhir polinomial ∫ 3 dx = 3x (bukan 3 atau 3x²!)

④

∫ eˣ dx = eˣ + C

Istimewa: integral eˣ = dirinya sendiri

Rumus

∫ eˣ dx = eˣ + C

Satu-satunya fungsi yang turunan = dirinya sendiri = integral dirinya sendiri.

Bentuk Soal & Langkah

1

∫ eˣ dx = eˣ + C

2

∫ 5eˣ dx = 5eˣ + C (konstanta keluar)

3

∫ (eˣ + x²) dx = eˣ + x³/3 + C

4

∫₀¹ eˣ dx = [eˣ]₀¹ = e¹ − e⁰ = e − 1

⚡ Rumus Cepat

🚀 Trik Ingat

eˣ tidak berubah saat diintegral! ∫eˣdx = eˣ (sama persis)

⚠️ TAPI untuk eᵃˣ (koefisien ≠1):
∫e²ˣdx = (1/2)e²ˣ — harus BAGI koefisien! (→ Rumus #5)

⑤

∫ eᵃˣ dx = (1/a)eᵃˣ + C

eˣ dengan koefisien a di pangkat

Rumus

∫ eᵃˣ dx = (1/a)eᵃˣ + C

Asal: d/dx[eᵃˣ] = aeᵃˣ → balik: ∫eᵃˣdx = (1/a)eᵃˣ

Bentuk Soal & Langkah

1

∫ e²ˣ dx → a=2 → (1/2)e²ˣ + C

2

∫ e³ˣ dx → a=3 → (1/3)e³ˣ + C

3

∫ e⁻ˣ dx → a=−1 → (1/−1)e⁻ˣ = −e⁻ˣ + C

4

∫ e⁻³ˣ dx → a=−3 → (−1/3)e⁻³ˣ + C

⚡ Rumus Cepat

🚀 Langsung: BAGI koefisien

∫ eᵃˣ dx → eᵃˣ dibagi a e²ˣ → e²ˣ/2 e⁻ˣ → e⁻ˣ/(−1) = −e⁻ˣ

⚠️ e⁻ˣ → −e⁻ˣ! Karena a=−1, bagi −1.

⑥

∫ aˣ dx = aˣ / ln a + C

Eksponensial basis bukan e

Rumus

∫ aˣ dx = aˣ / ln a + C

a > 0, a ≠ 1. Asal: d/dx[aˣ] = aˣ ln a → balik: bagi ln a.

Bentuk Soal & Langkah

1

∫ 2ˣ dx = 2ˣ / ln 2 + C

2

∫ 3ˣ dx = 3ˣ / ln 3 + C

3

∫ 10ˣ dx = 10ˣ / ln 10 + C

4

∫ (1/2)ˣ dx = (1/2)ˣ / ln(1/2) + C
= (1/2)ˣ / (−ln 2) + C

⚡ Rumus Cepat

🚀 Langsung: BAGI ln(basis)

∫ 2ˣ dx → 2ˣ / ln 2 Ciri soal: basis BUKAN e Jika basis = e → Rumus #4 atau #5

⑦

∫ ln x dx = x ln x − x + C

Dari IBP: u=ln x (Logaritma), dv=dx

Rumus

∫ ln x dx = x ln x − x + C

Asal: IBP dengan u=ln x, dv=dx → du=1/x dx, v=x
= x·ln x − ∫x·(1/x)dx = x ln x − x

Bentuk Soal & Langkah

1

∫ ln x dx
u=ln x → du=1/x dx
dv=dx → v=x
= x ln x − ∫x·(1/x)dx = x ln x − x + C

2

∫ 3 ln x dx = 3(x ln x − x) + C

3

∫ x ln x dx (LIATE: u=ln x, dv=x dx)
v=x²/2
= (x²/2)ln x − ∫(x²/2)(1/x)dx
= (x²/2)ln x − x²/4 + C

⚡ Rumus Cepat

🚀 ln x sendiri → langsung pakai

∫ ln x dx = x ln x − x + C Hafal saja! Tidak perlu hitung ulang.

LIATE: ln x selalu jadi u (L = prioritas tertinggi). Jika ada ln x × polinomial → u = ln x!

⑧

∫ sin x dx = −cos x + C

⚠️ Ada MINUS — paling sering salah!

Rumus

∫ sin x dx = −cos x + C

MENGAPA ADA MINUS?
d/dx[cos x] = −sin x → balik: ∫sin x dx = −cos x ✓

Bentuk Soal & Langkah

1

∫ sin x dx = −cos x + C

2

∫ 3 sin x dx = −3 cos x + C

3

∫ sin(2x) dx → substitusi u=2x, du=2dx
= (1/2)∫ sin u du = (1/2)(−cos u) = −(1/2)cos(2x) + C

4

∫ sin(ax) dx = −(1/a)cos(ax) + C
(rumus cepat: bagi koefisien a)

5

∫₀^π sin x dx = [−cos x]₀^π
= −cos π − (−cos 0) = 1+1 = 2

⚡ Rumus Cepat

🚀 sin(ax) → bagi koefisien

∫ sin(ax) dx = −(1/a)cos(ax) + C ∫ sin(3x) dx = −(1/3)cos(3x) + C ∫ sin(x/2) dx = −2cos(x/2) + C

⚠️ JANGAN: ∫sin x dx = +cos x (SALAH!)
Harus: ∫sin x dx = −cos x ✓

⑨

∫ cos x dx = sin x + C

Tidak ada minus — kebalikan turunan sin x

Rumus

∫ cos x dx = sin x + C

d/dx[sin x] = cos x → balik: ∫cos x dx = sin x ✓

Bentuk Soal & Langkah

1

∫ cos x dx = sin x + C

2

∫ cos(2x) dx = (1/2)sin(2x) + C

3

∫ cos(4x) dx = (1/4)sin(4x) + C

4

∫ (sin x + cos x) dx = −cos x + sin x + C

⚡ Rumus Cepat

🚀 cos(ax) → bagi koefisien

∫ cos(ax) dx = (1/a)sin(ax) + C ∫ cos(2x) dx = (1/2)sin(2x) ∫ cos(4x) dx = (1/4)sin(4x)

Penting di soal sin⁴x / cos⁴x:
Saat ekspansi menghasilkan cos(2x) atau cos(4x), langsung pakai rumus ini!

⑩

∫ tan x dx = ln|sec x| + C

= −ln|cos x| + C (kedua bentuk benar)

Rumus & Bukti

∫ tan x dx = ln|sec x| + C

Bukti: tan x = sin x/cos x
u = cos x → du = −sin x dx → sin x dx = −du
∫ sin x/cos x dx = ∫ −du/u = −ln|u| = −ln|cos x|
= ln|cos x|⁻¹ = ln|sec x| + C

Bentuk Soal & Langkah

1

∫ tan x dx = ln|sec x| + C (hafal)

2

∫ 3 tan x dx = 3 ln|sec x| + C

3

∫ tan(2x) dx = (1/2)ln|sec(2x)| + C
(bagi koefisien 2)

4

∫ sin x/cos x dx → u=cos x
= −ln|cos x| + C = ln|sec x| + C ✓

⚡ Rumus Cepat & Ciri

🚀 Ciri soal ∫tan x dx

Muncul langsung → hafal saja sin x/cos x → substitusi u=cos x

Identitas ke-⑩ wajib hafal:
∫ tan x dx = ln|sec x| + C — ini salah satu dari 10 rumus wajib ujian!

⑪

∫ cot x dx = ln|sin x| + C

Dari substitusi u = sin x

Rumus & Bukti

∫ cot x dx = ln|sin x| + C

Bukti: cot x = cos x/sin x
u = sin x → du = cos x dx
∫ cos x/sin x dx = ∫ du/u = ln|u| = ln|sin x| + C

Bentuk Soal & Langkah

1

∫ cot x dx = ln|sin x| + C

2

∫ 2 cot x dx = 2 ln|sin x| + C

3

Muncul saat selesaikan ∫ cot³x dx:
∫(csc²x−1)cot x dx → ∫csc²x cot x dx − ∫cot x dx
→ suku ke-2 = ln|sin x|

⚡ Rumus Cepat & Ciri

🚀 Ciri soal ∫cot x dx

cot x sendiri → hafal langsung cos x/sin x → u=sin x → ln|sin x|

Identitas ke-⑨ wajib hafal:
∫ cot x dx = ln|sin x| + C

⑫

∫ sec x dx = ln|sec x + tan x| + C

Rumit — hafal hasil akhirnya saja

Rumus

∫ sec x dx = ln|sec x + tan x| + C

Cara pengerjaan: kalikan (sec x+tan x)/(sec x+tan x), substitusi.
Di ujian IF-49-09: biasanya tidak diminta, tapi hafal hasilnya!

Langkah Bukti (untuk referensi)

1

∫ sec x dx = ∫ sec x · (sec x+tan x)/(sec x+tan x) dx

2

= ∫ (sec²x + sec x tan x)/(sec x + tan x) dx

3

u = sec x+tan x → du = (sec x tan x + sec²x)dx
→ pembilang = du!

4

= ∫ du/u = ln|u| = ln|sec x + tan x| + C

⚡ Cara Ingat

🚀 Hafal langsung hasilnya

∫ sec x dx = ln|sec x + tan x| + C Ciri soal: sec x tunggal (bukan sec²x)

⚠️ Jangan bingung:
∫ sec x dx ≠ tan x
∫ sec²x dx = tan x (Rumus #14!)

⑬

∫ csc x dx = ln|csc x − cot x| + C

Rumit — hafal hasil akhirnya saja

Rumus

∫ csc x dx = ln|csc x − cot x| + C

Pola sama dengan ∫sec x dx, tapi tanda MINUS antara csc dan cot.
= −ln|csc x + cot x| + C (bentuk lain)

Langkah (ringkas)

1

Kalikan (csc x−cot x)/(csc x−cot x)

2

= ∫ (csc²x−csc x cot x)/(csc x−cot x) dx

3

u=csc x−cot x → du=(−csc x cot x+csc²x)dx = pembilang

4

= ∫ du/u = ln|csc x − cot x| + C

⚡ Cara Ingat

🚀 Hafal hasilnya

∫ csc x dx = ln|csc x − cot x| + C Perhatikan: tanda MINUS (bukan plus!)

⚠️ Jangan bingung:
∫ csc x dx ≠ −cot x
∫ csc²x dx = −cot x (Rumus #15!)

⑭

∫ sec²x dx = tan x + C

⑦ Wajib Hafal Ujian — kebalikan turunan tan

Rumus

∫ sec²x dx = tan x + C

d/dx[tan x] = sec²x → balik: ∫ sec²x dx = tan x ✓
Ini BEDA dengan ∫sec x dx!

Bentuk Soal & Langkah

1

∫ sec²x dx = tan x + C

2

∫ (sec²x − 1) dx = tan x − x + C
← ini = ∫ tan²x dx! (karena tan²=sec²−1)

3

∫ tan²x·sec²x dx → u=tan x, du=sec²x dx
= ∫u² du = (1/3)tan³x + C

4

∫ tanⁿx·sec²x dx → u=tan x, du=sec²x dx
= uⁿ⁺¹/(n+1) = tanⁿ⁺¹x/(n+1) + C

⚡ Rumus Cepat & Ciri

🚀 Pola tanⁿx·sec²x → LANGSUNG!

∫ tanⁿx · sec²x dx = tanⁿ⁺¹x/(n+1) + C ∫ tan²x·sec²x dx = tan³x/3 + C ∫ tan⁴t·sec²t dt = tan⁵t/5 + C → [1/5]₀¹ = 0.20

Kapan muncul sec²x?
① Langsung di soal
② Setelah identitas tan²=sec²−1
③ Sebagai bagian du saat u=tan x

⑮

∫ csc²x dx = −cot x + C

⑧ Wajib Hafal — ADA MINUS! Kebalikan turunan cot

Rumus

∫ csc²x dx = −cot x + C

MENGAPA ADA MINUS?
d/dx[cot x] = −csc²x → balik: ∫csc²x dx = −cot x ✓
Turunan cot sudah pakai minus, jadi integralnya juga minus.

Bentuk Soal & Langkah

1

∫ csc²x dx = −cot x + C

2

∫ (csc²x − 1) dx = −cot x − x + C
← ini = ∫ cot²x dx!

3

∫ cot²x·csc²x dx → u=cot x, du=−csc²x dx
csc²x dx = −du
= ∫u²(−du) = −u³/3 = −(1/3)cot³x + C

4

∫ cotⁿx·csc²x dx → u=cot x
= −cotⁿ⁺¹x/(n+1) + C (ada minus!)

⚡ Rumus Cepat & Ciri

🚀 Pola cotⁿx·csc²x → LANGSUNG!

∫ cotⁿx · csc²x dx = −cotⁿ⁺¹x/(n+1) + C ∫ cot²x·csc²x dx = −cot³x/3 + C Ada MINUS di depan!

⚠️ JANGAN: ∫csc²x dx = +cot x (SALAH!)
Harus: ∫csc²x dx = −cot x ✓

⑯

∫ sec x tan x dx = sec x + C

Kebalikan turunan sec x

Rumus

∫ sec x tan x dx = sec x + C

d/dx[sec x] = sec x tan x → balik: ∫sec x tan x dx = sec x ✓

Bentuk Soal & Langkah

1

∫ sec x tan x dx = sec x + C

2

∫ (sec²x + sec x tan x) dx
= tan x + sec x + C

3

∫ secⁿx · tan x dx (n≥2):
u=sec x → du=sec x tan x dx
= ∫uⁿ⁻¹ du = secⁿx/n + C

⚡ Rumus Cepat

🚀 sec x tan x bersama → langsung sec x

∫ sec x tan x dx = sec x + C Ciri: sec dan tan selalu bersama!

⑰

∫ csc x cot x dx = −csc x + C

⚠️ Ada MINUS — kebalikan turunan csc

Rumus

∫ csc x cot x dx = −csc x + C

MENGAPA MINUS?
d/dx[csc x] = −csc x cot x → balik: ∫csc x cot x dx = −csc x ✓

Bentuk Soal & Langkah

1

∫ csc x cot x dx = −csc x + C

2

∫ (csc²x + csc x cot x) dx
= −cot x + (−csc x) + C

3

∫ cscⁿx · cot x dx → u=csc x
du=−csc x cot x dx → csc x cot x dx = −du
= −cscⁿx/n + C

⚡ Rumus Cepat

🚀 csc·cot bersama → −csc

∫ csc x cot x dx = −csc x + C Ada MINUS di depan csc!

⑱

∫ 1/(1+x²) dx = tan⁻¹x + C

Inversus trigonometri — arctan

Rumus

∫ 1/(1+x²) dx = tan⁻¹x + C

d/dx[tan⁻¹x] = 1/(1+x²) → balik: ∫1/(1+x²)dx = tan⁻¹x ✓
Bentuk lain: ∫ 1/(a²+x²) dx = (1/a)tan⁻¹(x/a) + C

Bentuk Soal & Langkah

1

∫ 1/(1+x²) dx = tan⁻¹x + C

2

∫ 1/(4+x²) dx = ∫ 1/(2²+x²) dx
= (1/2)tan⁻¹(x/2) + C

3

∫ 5/(1+x²) dx = 5 tan⁻¹x + C

4

∫₀¹ 1/(1+x²) dx = [tan⁻¹x]₀¹
= tan⁻¹(1) − tan⁻¹(0) = π/4 − 0 = π/4

⚡ Rumus Cepat & Ciri

🚀 Pola → langsung tan⁻¹

Penyebut: 1+x² atau a²+x² ∫ 1/(a²+x²) dx = (1/a)tan⁻¹(x/a) + C

tan⁻¹(1) = π/4 dan tan⁻¹(0) = 0 — hafal untuk integral tentu!

⑲

∫ 1/√(1−x²) dx = sin⁻¹x + C

Inversus trigonometri — arcsin

Rumus

∫ 1/√(1−x²) dx = sin⁻¹x + C

d/dx[sin⁻¹x] = 1/√(1−x²) → balik langsung.
Bentuk lain: ∫ 1/√(a²−x²) dx = sin⁻¹(x/a) + C

Bentuk Soal & Langkah

1

∫ 1/√(1−x²) dx = sin⁻¹x + C

2

∫ 1/√(4−x²) dx = ∫ 1/√(2²−x²) dx
= sin⁻¹(x/2) + C

3

∫₀^(1/2) 1/√(1−x²) dx = [sin⁻¹x]₀^(1/2)
= sin⁻¹(1/2) − sin⁻¹(0) = π/6 − 0 = π/6

⚡ Rumus Cepat & Ciri

🚀 Pola → langsung sin⁻¹

Ada √(1−x²) di penyebut → sin⁻¹x Ada √(a²−x²) di penyebut → sin⁻¹(x/a)

sin⁻¹(1/2) = π/6 dan sin⁻¹(1) = π/2

⑳

∫ u dv = u·v − ∫ v du (IBP)

Untuk perkalian dua fungsi berbeda jenis — LIATE

📌 Aturan LIATE — Prioritas Memilih u

L → I → A → T → E (pilih u dari kiri)

L = Logaritma (ln x, log x)   ← prioritas tertinggi
I = Invers trig (tan⁻¹x)
A = Aljabar/polinomial (x², 3x)
T = Trigonometri (sin x, cos x)
E = Eksponensial (eˣ)          ← prioritas terendah

Semua Bentuk Soal IBP

Bentuk Soal

∫ x eˣ dx

A × E

Pengerjaan Lengkap

1

u=x (A), dv=eˣdx (E) — A>E di LIATE

2

du=dx, v=eˣ

3

= xeˣ − ∫eˣdx = xeˣ − eˣ + C = eˣ(x−1)+C

⚡ Rumus Cepat

∫ xeˣ dx = eˣ(x−1) + CHafal langsung hasilnya!

Bentuk Soal

∫ 3x cos x dx

A × T

Pengerjaan Lengkap

1

u=3x (A>T di LIATE), dv=cos x dx

2

du=3dx, v=sin x

3

= 3x·sin x − ∫sin x·3dx
= 3x sin x − 3(−cos x)
= 3x sin x + 3 cos x + C

⚡ Hasil

∫ 3x cos x dx= 3x sin x + 3 cos x + C

Bentuk Soal

∫ x² sin x dx

A² × T (2×IBP)

Pengerjaan Lengkap

i

u=x², dv=sin x dx → v=−cos x
= −x²cos x + 2∫x cos x dx

ii

∫x cos x dx: u=x, v=sin x
= x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

3

= −x²cos x + 2(x sin x + cos x) + C
= −x²cos x + 2x sin x + 2cos x + C

⚡ Gunakan Tabular!

+x² × sin x → x²·(−cos x)−2x × (−cos x) → +2x sin x+2 × (−sin x) → −2 sin x= −x²cos x+2x sin x+2cos x+C

Bentuk Soal

∫ x² cos x dx

A² × T (Tabular)

Tabular Method

T

+x² × sin x = +x²sin x
−2x × (−cos x) = +2x cos x ⚠️
+2 × (−sin x) = −2 sin x ⚠️

⚡ Jawaban

∫ x² cos x dx= x²sin x + 2x cos x − 2 sin x + C

Bentuk Soal

∫ x²eˣ dx

A² × E (Tabular)

Tabular Method

T

+x² × eˣ = +x²eˣ
−2x × eˣ = −2xeˣ
+2 × eˣ = +2eˣ

→

= eˣ(x²−2x+2) + C

∫

∫₀¹ x²eˣ dx = [eˣ(x²−2x+2)]₀¹
= e(1) − 1(2) = e − 2 ≈ 0.72

⚡ Jawaban

∫ x²eˣ dx = eˣ(x²−2x+2)+C∫₀¹x²eˣdx = e − 2 ≈ 0.72

Bentuk Soal

∫ eˣ cos x dx

E × T (Khusus!)

Pengerjaan

i

u=eˣ, dv=cos x dx → = eˣsin x − ∫eˣsin x dx

ii

IBP lagi → ∫eˣsin x dx = −eˣcos x + ∫eˣcos x dx

→

∫eˣcos x dx = eˣsin x + eˣcos x − ∫eˣcos x dx
2∫eˣcos x dx = eˣ(sin x + cos x)
∫eˣcos x dx = ½eˣ(sin x + cos x) + C

⚡ Rumus Cepat

∫ eˣcos x dx = ½eˣ(sin x+cos x)+C∫ eˣsin x dx = ½eˣ(sin x−cos x)+C

Bentuk Soal

∫ ln x dx

L sendiri

Pengerjaan

1

u=ln x (L), dv=dx
du=1/x dx, v=x

2

= x·ln x − ∫x·(1/x)dx
= x ln x − ∫1 dx
= x ln x − x + C

⚡ Langsung hafal

∫ ln x dx = x ln x − x + C

✅

10 Identitas & Rumus Wajib Hafal Ujian

Bentuk soal, cara pengerjaan, dan rumus cepat tiap nomor

① sin²x + cos²x = 1 — Pythagoras Dasar

Identitas

sin²x + cos²x = 1

Asal: koordinat titik di lingkaran satuan. Semua identitas trig lain diturunkan dari sini.

Turunannya:
sin²x = 1 − cos²x
cos²x = 1 − sin²x

Dipakai Di Soal Ini

→

∫ sin³x dx
sin²x = 1−cos²x → u=cos x
= (1/3)cos³x − cos x + C

→

∫ cos³t dt
cos²t = 1−sin²t → u=sin t
= sin t − (1/3)sin³t + C

→

∫ sin³x cos²x dx
(1−cos²x)cos²x·sin x dx → u=cos x

⚡ Kapan Pakai?

sin/cos pangkat GANJIL

sin ganjil → sin²=1−cos², u=cos x cos ganjil → cos²=1−sin², u=sin x

② tan²x = sec²x − 1 — Dari ÷cos²x

Identitas

tan²x = sec²x − 1

Asal: sin²+cos²=1, bagi cos²x:
tan²+1=sec² → tan²=sec²−1

Dipakai Di Soal Ini

→

∫ tan²x dx
= ∫(sec²x−1)dx = tan x − x + C

→

∫ tan⁴x dx
tan⁴=tan²(sec²−1) → pecah 2 integral
= (1/3)tan³x − tan x + x + C

→

∫ tan²x·sec⁴x dx
sec⁴=sec²(1+tan²) → u=tan x
= (1/3)tan³x + (1/5)tan⁵x + C

⚡ Kapan Pakai?

tan pangkat TINGGI tanpa sec²

tanⁿx → pecah pakai tan²=sec²−1 Sampai tersisa tanⁿx·sec²x → substitusi

③ cot²x = csc²x − 1 — Dari ÷sin²x

Identitas

cot²x = csc²x − 1

Asal: sin²+cos²=1, bagi sin²x:
1+cot²=csc² → cot²=csc²−1

Dipakai Di Soal Ini

→

∫ cot²x dx
= ∫(csc²x−1)dx = −cot x − x + C

→

∫ cot³x dx
cot³=(csc²−1)cot → 2 bagian
= −(1/2)cot²x − ln|sin x| + C

→

∫ cot⁴x dx
cot⁴=cot²(csc²−1) → 2 bagian (2×)
= −(1/3)cot³x + cot x + x + C

⚡ Kapan Pakai?

cot pangkat TINGGI tanpa csc²

cotⁿx → pecah pakai cot²=csc²−1 Pola mirip tan, tapi csc dan cot

④ sin²x = (1 − cos 2x) / 2 — Untuk sin pangkat GENAP

Identitas

sin²x = (1 − cos 2x) / 2

Asal: cos 2x = 1−2sin²x → sin²x = (1−cos2x)/2

Kuadratkan: (sin²x)² = [(1−cos2x)/2]² = (1−cos2x)²/4
Penyebut 2² = 4 karena dikuadratkan!

Dipakai Di Soal Ini

→

∫ sin²x dx
= ∫(1−cos2x)/2 dx
= (1/2)[x − (1/2)sin2x] = x/2 − sin2x/4 + C

→

∫ sin⁴x dx
sin⁴=(sin²)²=[(1−cos2x)/2]²=(1−cos2x)²/4
ekspansi, ubah cos²2x=(1+cos4x)/2
= (3/8)x − (1/4)sin2x + (1/32)sin4x + C

⚡ Kapan Pakai?

sin pangkat GENAP

sin²x → ganti dengan (1−cos2x)/2 sin⁴x → kuadratkan → /4 (bukan /2!)

⑤ cos²x = (1 + cos 2x) / 2 — Untuk cos pangkat GENAP

Identitas

cos²x = (1 + cos 2x) / 2

Asal: cos 2x = 2cos²x−1 → cos²x = (1+cos2x)/2

Kuadratkan: (cos²x)² = [(1+cos2x)/2]² = (1+cos2x)²/4

Dipakai Di Soal Ini

→

∫ cos²x dx
= ∫(1+cos2x)/2 dx
= x/2 + sin2x/4 + C

→

∫ cos⁴t dt
cos⁴=[(1+cos2t)/2]²=(1+cos2t)²/4
= (3/8)t + (1/4)sin2t + (1/32)sin4t + C

→

cos²2x yang muncul dari ekspansi:
cos²2x = (1+cos4x)/2 ← identitas sama, sudut 2x

⚡ Kapan Pakai?

cos pangkat GENAP

cos²x → ganti dengan (1+cos2x)/2 cos⁴x → kuadratkan → /4

⑥ ∫ u dv = uv − ∫ v du — Integral Parsial (IBP)

Rumus IBP

∫ u dv = uv − ∫ v du

Asal: d(uv)=u dv+v du → ∫d(uv)=∫u dv+∫v du
Pindahkan: ∫u dv = uv − ∫v du

Pakai LIATE untuk pilih u.

Semua Bentuk Soal IBP

→

polinomial × eˣ → u=polinomial → Tabular

→

polinomial × trig → u=polinomial → Tabular

→

eˣ × trig → IBP 2×, pindah kiri, bagi 2

→

ln x sendiri → u=ln x, dv=dx

→

polinomial × ln x → u=ln x (L>A)

⚡ Rumus Cepat Hasil IBP

Langsung hafal hasil ini

∫xeˣdx = eˣ(x−1)+C ∫x²eˣdx = eˣ(x²−2x+2)+C ∫ln x dx = x ln x − x+C ∫eˣcos x dx = ½eˣ(sin+cos)+C

⑦ ∫ sec²x dx = tan x + C

Rumus

∫ sec²x dx = tan x + C

Dari: d/dx[tan x] = sec²x → balik arah = integral

Muncul di Soal Ini

→

∫ tan²x dx = ∫(sec²x−1)dx = tan x − x + C

→

∫ tan⁴x dx (pecah) → akhirnya ada ∫sec²x dx

→

∫ tanⁿx·sec²x dx → u=tan x, du=sec²x dx (substitusi langsung)

⚡ Rumus Cepat

∫ sec²x dx = tan x + Csec²x saja → langsung tan x

⑧ ∫ csc²x dx = −cot x + C (ADA MINUS!)

Rumus

∫ csc²x dx = −cot x + C

Mengapa minus? d/dx[cot x] = −csc²x → balik: ∫csc²x dx = −cot x

Muncul di Soal Ini

→

∫ cot²x dx = ∫(csc²x−1)dx = −cot x − x + C

→

∫ cot⁴x dx → bagian akhir ada ∫csc²x dx = −cot x

→

∫ cotⁿx·csc²x dx → u=cot x, du=−csc²x dx

⚡ Ingat!

⚠️ ADA MINUS

∫ csc²x dx = −cot x + CJangan: +cot x (SALAH!)

⑨ ∫ cot x dx = ln|sin x| + C

Rumus

∫ cot x dx = ln|sin x| + C

Bukti: cot x = cos x/sin x → u=sin x, du=cos x dx
→ ∫du/u = ln|u| = ln|sin x| ✓

Muncul di Soal Ini

→

∫ cot³x dx
= ∫(csc²x−1)cot x dx
→ bagian kedua: ∫cot x dx = ln|sin x|
Jawaban: −(1/2)cot²x − ln|sin x| + C

→

∫ cot⁴x dx
→ lewat ∫cot²x dx = ∫(csc²−1)dx
→ akhirnya +cot x + x + C (cot x dari −csc²)

⚡ Ingat

∫ cot x dx = ln|sin x| + Ccot x = cos x/sin x → u=sin x

⑩ ∫ tan x dx = ln|sec x| + C

Rumus

∫ tan x dx = ln|sec x| + C

= −ln|cos x| + C (bentuk sama)
Bukti: tan x=sin x/cos x → u=cos x, du=−sin x dx
→ −∫du/u = −ln|cos x| = ln|sec x| ✓

Muncul di Soal Ini

→

∫ tan x dx sendiri → langsung hafal

→

∫ tan⁴x dx (bagian ∫tan²x dx)
= ∫(sec²x−1)dx = tan x − x
→ tan x muncul di sini

→

∫ sin x/cos x dx → u=cos x → ln|sec x|+C

⚡ Ingat

∫ tan x dx = ln|sec x| + Ctan=sin/cos → u=cos x → −ln|cos x|

✅ Tabel Kilat — Semua Pola di Satu Tempat

Lihat di Soal	Metode	Rumus/Ciri
xⁿ (n≠−1)	Langsung	xⁿ⁺¹/(n+1)
1/x	Langsung	ln\|x\|+C
eˣ / eᵃˣ / aˣ	Langsung	eˣ / eᵃˣ/a / aˣ/ln a
sin x / cos x	Langsung	−cos x / sin x
sec²x / csc²x	Langsung	tan x / −cot x
sec·tan / csc·cot	Langsung	sec x / −csc x
1/(1+x²) / 1/√(1−x²)	Langsung	tan⁻¹x / sin⁻¹x
f'(x)/f(x)	Substitusi → ln	ln\|f(x)\|+C
tanⁿx·sec²x / cotⁿx·csc²x	Substitusi langsung	u=tan x / u=cot x
sinⁿ/cosⁿ (ganjil)	Pisah+substitusi	sin²=1−cos² / cos²=1−sin²
sinⁿ/cosⁿ (genap)	Sudut ganda	(1±cos2x)/2 berulang
tanⁿx / cotⁿx (tanpa sec/csc)	Pecah berulang	tan²=sec²−1 / cot²=csc²−1
polinomial×eˣ/trig	IBP / Tabular	u=polinomial (LIATE)
eˣ×trig	IBP 2× pindah kiri	bagi 2 di akhir
ln x sendiri / x·ln x	IBP	u=ln x (L teratas)

20 Rumus Integral + 10 Identitas WajibBentuk Soal, Cara Kerja & Rumus Cepat

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C

∫ 1/x dx = ln|x| + C

∫ k dx = kx + C

∫ eˣ dx = eˣ + C

∫ eᵃˣ dx = (1/a)eᵃˣ + C

∫ aˣ dx = aˣ / ln a + C

∫ ln x dx = x ln x − x + C

∫ sin x dx = −cos x + C

∫ cos x dx = sin x + C

∫ tan x dx = ln|sec x| + C

∫ cot x dx = ln|sin x| + C

∫ sec x dx = ln|sec x + tan x| + C

∫ csc x dx = ln|csc x − cot x| + C

∫ sec²x dx = tan x + C

∫ csc²x dx = −cot x + C

∫ sec x tan x dx = sec x + C

∫ csc x cot x dx = −csc x + C

∫ 1/(1+x²) dx = tan⁻¹x + C

∫ 1/√(1−x²) dx = sin⁻¹x + C

∫ u dv = u·v − ∫ v du (IBP)

10 Identitas & Rumus Wajib Hafal Ujian

20 Rumus Integral + 10 Identitas Wajib
Bentuk Soal, Cara Kerja & Rumus Cepat